当前位置：首页 > 其他 > 正文内容

【译文】为什么咱们需求极限和无穷小?

邻居的猫1个月前 (12-09)其他1482

那么多数学课，没有任何上下文，就跳到极限，无量小，十分小的数(T)。可是咱们为什么要在乎呢？数学协助咱们模仿国际。咱们能够把一个杂乱的主意（一条弯曲的曲线）分解成更简略的部分（矩形）：

可是，咱们想要一个精确的模型。矩形越细，模型越精确。从矩形构建的更简略的模型比直接处理杂乱的无定形斑驳更简略剖析。扎手的部分是制造一个像样的模型。极限和无量小有助于咱们创立简略易用的模型，但与原始项目具有相同的特点（长度、面积等）。

零的悖论

将一条曲线分割成矩形有一个问题：咱们怎么让切片薄到咱们留意不到它们，但大到足以“存在”？
假如切片太小而不能被留意到（零宽度），那么模型看起来与原始形状相同(咱们看不到任何矩形！).现在没有任何好处了逐个“简略”模型和原始模型相同杂乱！此外，将零宽度切片相加不会让咱们有任何发展。

假如切片很小但能够丈量，错觉就消失了。咱们看到，咱们的模型是一个锯齿状的近似，不会是精确的。数学家能做什么？咱们期望两者兼得：切片薄到咱们看不到它们（关于一个精确的模型），切片厚到足以创立一个更简略、更简略剖析的模型。进退维谷！

处理办法：零是相对的

零的概念被咱们的期望所误导。“0+i”这个纯虚数和零相同吗？
当咱们在实数线上时，“I”看起来肯定是零：I的“实部”R(i)的确是0。
一个纯虚数还能去哪里？（正北向东多远？）
这里有一个不同的脑筋急转弯：在读这句话的时分，你的体重有没有零磅的改变？是的，以你邻近的任何规划。可是原子丈量将显现由于汗液蒸腾、呼气等引起的一些质量改变。
你看，有两个答案（目前为止！）到“是零和不是零”的悖论：

答应另一个维度：在咱们的维度中丈量为零的数字或许实际上很小，但在另一个维度中不为零（无限小办法逐个一个比咱们处理的维度小无限多的维度)

承受不完美：被丈量为零的数字在更高的精确度下或许对错零的；说某物是“零”实际上意味着“它是0”+/-咱们的丈量差错”（极限迫临）这些办法弥合了“对咱们来说为零”和“在更高精度水平上非零”之间的距离。

极限和无量小概述

让咱们看看每种办法是怎么将曲线分割成矩形的：

极限：“给我你的差错规模（我知道你有，你这个有限的，不完美的人类！)，我给你画条曲线。
你的尺子上最小的单位是什么？英寸？好吧，我给你画一个毫米级的staircasey曲线，你永久也不会知道。哦，你有一把毫米尺，是吗？我用纳米来画曲线。不论你的精确性怎么，我更好。你永久不会看到楼梯。”
无量小：“忘掉精确性：有一个完好的极限空间，我将在那里画曲线。
精度彻底不是你能抵达的逐个我是亚原子水平，你是个简直不能走路和嚼口香糖的穴居人。这就像从实在的平面抵达幻想的平面逐个你便是做不到。对你来说，我在亚原子水平上制造的矩形是你见过的最完美的曲线。”极限存在于咱们的维度中，但其精确度足以坚持完美模型的错觉。无量小在另一个维度树立模型，在咱们的维度看起来彻底精确。这两种办法的窍门在于，更简略的模型超出了咱们的精度水平。咱们或许知道这个模型是锯齿状的，但咱们无法差异一咱们做的任何测验都显现模型和什物是相同的。那一招不论用吧？

哦，但的确如此。咱们总是被“不完美但有用”的模型所诈骗：

音频文件不包括原始信号的一切信息。可是你能说出一个高质量的mp3和一个人在另一个房间里说话的差异吗？
核算机打印输出是由小到看不见的单个点组成的。你能把手写的笔记和高质量打印的笔记差异开来吗？
视频以每秒24次的速度显现静止图像。这个“不完美”的模型快到足以诈骗咱们的大脑看到流体运动。

如此循环往复。咱们抵抗是由于咱们对精确性的人为需求。可是音频和视频工程师知道他们不需求一个完美的复制品，只需质量好到足以诈骗咱们以为这是原件。微积分让咱们制造出这些技术上不完美但“满足精确”的数学模型。在另一个维度作业在用简化模型进行推理时，咱们需求当心。咱们需求在更高的精确度水平上“做咱们的作业”，并将nnI成果带回咱们的国际。不然咱们会丢掉信息。

假定一个虚数(I)拜访实数线。咱们都觉得他是零：究竟Re(1)=0。可是我会变戏法！“帮我摆平！”他说，他们也这么做了：“ii=-1”其他的数字都很惊奇。关于实数，好像呈现了“0’0=-1”这一巨大的悖论。可是他们的困惑来自于他们的观念逐个他们只以为是“00”=-1”.是的，Re(i)Re(i)=0,但那不是运算！咱们要Re(i*i),彻底不相同！咱们在它自己的维度上平方I,然后把成果带回咱们的维度。咱们需求的是虚数I的平方，而不是咱们心目中的0。

当心微积分中相似的过错：咱们处理看起来像sro的细小数字，但咱们不能假定它们是数学（就像对待I像0相同）。不，咱们需求在另一个维度“做数学”并将成果转化回来。
极限和无量小关于怎么进行这种转化有不同的观念：

极限：在你发觉不到的精度水平上“算一算”（毫米），然后把它还原成你的刻度上的数字（英寸）
无量小：在不同的维度中“做数学题”，并把它带回“规范”维度（就像取复数的实部相同：你取一个超实数的“规范”部分逐个稍后再讲)

历来没有人告诉我：微积分让你用更简略的模型以更高的精度作业，并把成果带回
咱们的国际。
实在的比如：sin(x)/x让咱们测验一个概念性的比如。假定咱们想知道si(x)发生了什么/x为零。现在，假如咱们代入x=0,咱们得到一个无含义的成果：sin(0)=0,所以咱们得到0/0，它能够是任何值。
让咱们退一步：在咱们的国际里，“x=0”意味着什么？好吧，假如咱们答应存在更高水平的精确性，咱们知道：

看起来为零的东西在不同的维度上或许对错零的（就像我或许看起来是零，但实际上不是)

咱们会说，在这个更高的精度水平上，x能够十分十分挨近于零，但不是“真零”。直觉上，你能够以为x是0.0000..00001，那里的“…”有满足多的零让你不再能发现这个数字。(在极限条件下，咱们说x=0+d(delta,一个使咱们坚持在差错规模内的小改变)，在无量小条件下，咱们说x=0+h,其间h是一个细小的超实数，称为无量小)

好，咱们有x在“对咱们来说是零，但不是真的”。现在咱们需求一个更简略的sin(x)模型。为什么？正弦是一条张狂重复的曲线，很难知道发生了什么。但事实证明，在短距离内，直线是一个十分好的曲线模型：

就像咱们能够将一个填充的形状分解成小矩形来简化它相同，咱们能够将一条曲线分解成一系列线段。在0邻近，si(x)看起来像线“x”。所以，咱们把sin(x)换成线“x”。新的份额是多少？

嗯，“x/x”是1。记住，咱们不是真的被零除，由于在这个超级精确的国际里：x很小但不为零(0+d,或0+)。当咱们“取极限”或“取规范部分”时，这意味着咱们核算(x/x=1),然后找到国际上最挨近的数字(1等于1)。

因而，当sin(x)/x挨近零时，咱们得到1，也便是说，咱们使x尽或许小，因而对咱们来说它变成0。假如x变成纯的，真实的零，那么比率将是未定义的（并且是在无量小的水平！）.可是咱们永久不确定咱们是否处于完美的零度逐个大约0.0000...0001对咱们来说就像零。所以，就咱们所知，“sin(x)/x”看起来像“x/x=1”。直观地说，一旦咱们读到弧度，这个成果就有含义了)。

可视化流程

今日的方针不是处理极限问题，而是了解处理它们的进程。为了处理这个比如：

认识到x=0从咱们的精度是达不到的：一个“小但不为零”的x总是在更高的精度水平上可用
用直线替代sin(x)作为更简略的模型
用更简略的模型(x/x=1)进行“核算”
将成果(1)带回咱们的精确度（坚持1）以下是我

对这个进程的观点：

在后面的文章中，咱们将学习树立和求解模型的细节。
正告：这个技巧并不总是见效有些函数真的很不稳定”逐个它们或许在无量小的水平上有所不同。这意味着咱们不能可靠地把他们带回咱们的国际。看起来函数在微观层次上不稳定，体现得不“平稳”。极限的严厉部分是核算出哪些函数体现得满足好，能够树立简略而精确的模型。走运的是，国际上大多数天然函数(x,x2,sin,e^)体现杰出，cm能够用微积分来建模。